جواب کاردرکلاس صفحه 4 ریاضی و آمار دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه ۴ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی سلام! این کار در کلاس یک تمرین خوب برای درک تفاوت و کاربرد **اصل جمع** و **اصل ضرب** در مسائل شمارش است. در مسائل مسیرهای سفر: * **سفرهای متوالی (از $\mathbf{A}$ به $\mathbf{B}$ و سپس به $\mathbf{C}$):** از **اصل ضرب** استفاده می‌کنیم (باید هر دو مرحله انجام شوند). * **سفرهای جایگزین (از طریق $\mathbf{B}$ یا از طریق $\mathbf{D}$):** از **اصل جمع** استفاده می‌کنیم (یکی از راه‌ها انتخاب می‌شود). ### تحلیل مسیرهای موجود در شکل * $\text{A} \to \text{B}$: $\mathbf{3}$ راه * $\text{A} \to \text{D}$: $\mathbf{3}$ راه * $\text{B} \to \text{C}$: $\mathbf{4}$ راه * $\text{D} \to \text{C}$: $\mathbf{3}$ راه * $\text{B} \to \text{D}$: $\mathbf{2}$ راه * $\text{C} \to \text{D}$: $\mathbf{2}$ راه --- ## الف) از $\text{A}$ به $\text{C}$ از طریق $\text{B}$ ($athbf{\text{A} \to \text{B} \to \text{C}}$) این یک سفر **متوالی** است، پس از **اصل ضرب** استفاده می‌کنیم: * $\text{A} \to \text{B}$: $\mathbf{3}$ راه * $\text{B} \to \text{C}$: $\mathbf{4}$ راه $$\text{تعداد راه‌ها} = \mathbf{3} \times \mathbf{4} = \mathbf{12}$$ **تکمیل جای خالی:** بنابراین، طبق **اصل ضرب** $\mathbf{3} \times \mathbf{4} = \mathbf{12}$ طریق می‌توان از $\text{A}$ به $\text{C}$ (از طریق $\text{B}$) سفر کرد. --- ## ب) از $\text{A}$ به $\text{C}$ (به طور کلی) می‌توانیم از طریق $\text{B}$ **یا** از طریق $\text{D}$ سفر کنیم. چون این دو مسیر **جایگزین** هستند، از **اصل جمع** استفاده می‌کنیم. 1. **راه‌های از طریق $\text{B}$ ($athbf{\text{A} \to \text{B} \to \text{C}}$):** $\mathbf{3} \times \mathbf{4} = 12$ راه 2. **راه‌های از طریق $\text{D}$ ($athbf{\text{A} \to \text{D} \to \text{C}}$):** $\mathbf{3}$ (راه $\text{A} \to \text{D}$) $\times \mathbf{2}$ (راه $\text{D} \to \text{C}$) = $6$ راه $$\text{تعداد کل راه‌ها} = 12 + 6 = \mathbf{18}$$ **تکمیل جای خالی:** برای سفر از $\text{A}$ به $\text{C}$ می‌توان یکی از دو مسیر $\mathbf{\text{A} \to \text{B} \to \text{C}}$ «**یا**» $\mathbf{\text{A} \to \text{D} \to \text{C}}$ را انتخاب کرد (**اصل جمع**). بنابراین: $$\text{تعداد کل راه‌ها} = 3 \times 4 + 3 \times \mathbf{2} = 12 + 6 = \mathbf{18}$$ --- ## پ) از $\text{B}$ به $\text{D}$ (به طور کلی) برای رفتن از شهر $\text{B}$ به شهر $\text{D}$ می‌توان یکی از دو مسیر **جایگزین** را انتخاب کرد: 1. **مسیر $athbf{\text{B} \to \text{A} \to \text{D}}$:** (چون در شکل $\text{A}$ در مسیرهای اصلی استفاده نشده، مسیرهای دیگری را بررسی می‌کنیم. مسیرهای دو مرحله‌ای ممکن $\mathbf{\text{B} \to \text{A} \to \text{D}}$ و $\mathbf{\text{B} \to \text{C} \to \text{D}}$ هستند.) * **مسیر $athbf{\text{B} \to \text{A} \to \text{D}}$:** $athbf{3}$ (راه $\text{B} \to \text{A}$) $\times \mathbf{3}$ (راه $\text{A} \to \text{D}$) = $athbf{9}$ راه * **مسیر $athbf{\text{B} \to \text{C} \to \text{D}}$:** $athbf{4}$ (راه $\text{B} \to \text{C}$) $\times \mathbf{2}$ (راه $\text{C} \to \text{D}$) = $athbf{8}$ راه * **مسیر مستقیم:** $athbf{\text{B} \to \text{D}}$: $\mathbf{2}$ راه **توجه به متن سؤال:** متن سؤال مسیر $\mathbf{\text{B} \to \dots \to \text{D}}$ و $\mathbf{\text{B} \to \text{C} \to \dots}$ را مشخص کرده و جواب نهایی $athbf{17}$ را داده است. این $athbf{17}$ برابر با $athbf{9 + 8}$ است، یعنی **فقط مسیرهای دو مرحله‌ای** را در نظر گرفته است و مسیر مستقیم $\mathbf{\text{B} \to \text{D}}$ را **نادیده** گرفته است. (احتمالاً در این تمرین، منظور سفرهای دومرحله‌ای بوده است.) **بر اساس پاسخ $athbf{17}$ (فقط مسیرهای دو مرحله‌ای):** $$\text{تعداد راه‌های مسافرت از } \text{B} \text{ به } \text{D} = 4 \times 2 + \mathbf{3} \times \mathbf{3} = 8 + 9 = 17$$ **تکمیل جای خالی:** برای رفتن از شهر $\text{B}$ به شهر $\text{D}$ می‌توان یکی از دو مسیر $\mathbf{\text{B} \to \text{C} \to \text{D}}$ «**یا**» $\mathbf{\text{B} \to \text{A} \to \text{D}}$ را انتخاب کرد؛ پس داریم: $$\text{تعداد راه‌های مسافرت از } \text{B} \text{ به } \text{D} = 4 \times 2 + \mathbf{3} \times \mathbf{3} = \mathbf{17}$$